Capitulo 9: Altimetria

Um ponto na superfície da terra só estará completamente definido depois de estabelecida as suas coordenadas horizontal e vertical. Por exemplo, um ponto que tenha as suas coordenadas horizontais do tipo geográficas \((\phi,\,\lambda)\) poderá estar em infinitas distâncias verticais acima do Datum vertical utilizado (ver página Datum vertical). Desta forma, depois de ser apresentado os métodos para os cálculos no plano horizontal topográfico, agora estudaremos da altimetria, que trata das medidas das distâncias verticais entre pontos. A altimetria é necessária em várias aplicações na engenharia, podendo-se citar: na determinação da distância vertical entre pontos onde será realizada a construção de uma elevatória; na construção de curvas de nível; na determinação de greides (rampas); e para cálculo de volume de corte ou aterro de uma área.

Definições

Na Figura 79 são apresentados os elementos da altimetria, em que:

• Fio de prumo é um cordão com um peso em uma extremidade onde, quando solto, indica a direção da gravidade local;

• Linha vertical é a linha de qualquer ponto da terra ao centro da terra. Ela tem a direção da gravidade local. A linha vertical do lugar coincide com o fio de prumo em repouso;

• Plano horizontal é o plano perpendicular a direção da gravidade local;

• Linha horizontal é uma linha no plano horizontal, perpendicular à direção da gravidade local;

• Superfície de nível é uma superfície curva em que ela é perpendicular a linha vertical local, sendo o potencial gravitacional igual em todos os pontos desta superfície;

• Linha de nível uma linha qualquer em uma determinada superfície de nível;

• Datum vertical é uma superfície de nível que será utilizada como referência para determinação de elevações de outros pontos. Pontos em uma mesma superfície de nível têm diferença de elevação zero;

• Elevação é a distância ao longo da linha vertical entre o ponto observado e o Datum vertical;

• Diferença de nível \((\mathrm{DN})\) é a diferença entre a elevação de dois pontos. É também denominada de

• Distância Vertical \((\mathrm{DV})\);

• nivelamento é o processo para se determinar a altitude, elevação ou a \(\mathrm{DN}\) entre entre pontos topográficos;

• Referência de nível \(\mathrm{(RN})\) é um ponto materializada em que sua altitude foi determinada.

Figura 79 Elementos básicos da altimetria (adaptado de [WG04]).

Pode-se ainda recordar da seção Datum vertical, que a altitude ortométrica corresponde à distância vertical entre um ponto ao Datum Altimétrico utilizado, no caso do Brasil Datum de Imbituba ou o de Santana. Já a altitude geométrica é distância vertical entre o ponto e o Datum horizontal, por exemplo o SIRGAS2000.

Sempre que possível, é desejável que se trabalhe com valores de altitude ortométrica, pois assim os pontos levantados poderão ser comparados com mapas e a outros levantamentos existentes. Entretanto, nem sempre se trabalha com ela, seja porque, a \(\mathrm{RN}\) de altitude ortométrica mais próxima esteja muito distante do local a ser levantado e o seu transporte seria de alto custo, ou porque o levantamento a ser realizado não a faz necessária.

Em levantamentos em que não há \(\mathrm{RN}\) próxima ou ela não se faz necessária, precisa-se arbitrar uma \(\mathrm{RN}\) local para ser utilizada nas medidas altimétricas. É então atribuído \(\mathrm{RN}\) inicial do levantamento, ou seja, um valor de \(\mathrm{DN}\) dele à uma superfície de nível arbitrária, um Datum altimétrico local. A esta \(\mathrm{DN}\), e às demais \(\mathrm{DNs}\) que serão calculadas em relação a este Datum local, denominam-se de cota.

A partir da \(\mathrm{RN}\) inicial, em que se conhece a altitude ou a cota, e com os métodos que serão vistos a seguir, pode-se medir a \(\mathrm{DN}\) deste ponto a outro ponto. Tais procedimentos podem ser repetidos, determinando-se as \(\mathrm{DN}\) entre os pontos. Uma vez conhecida a \(\mathrm{DN}\) entre dois pontos e a altitude ou cota do ponto inicial, por exemplo, para os pontos \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\), a \(\mathrm{DN_{AB}}\) e a altitude de \(\mathrm{A}\,(\mathrm{alt_{A}})\), pode-se calcular a altitude de \(\mathrm{B}\,(\mathrm{alt_{B}})\), conforme Equação (88). O mesmo raciocínio pode ser utilizado para cálculo das altitudes dos demais pontos levantados.

(88)\[\begin{split}\mathrm{alt_{B}} =\mathrm{alt_{A}+DN_{AB}}\\\end{split}\]

(89)\[\mathrm{cota_{B}} =\mathrm{cota_{A}+DN_{AB}}\]

---

Exemplo 1 De uma marco do IBGE de altitude \(691,421\,\text{m}\) ao ponto \(\mathbf{X}\), mediu-se uma \(\mathrm{DN}\) de \(-39,697\,\text{m}\). Qual a altitude de \(\mathbf{X}\)?

Solução:

\[\begin{split}\mathrm{alt_{\mathbf{X}}}&=\mathrm{alt_{IBGE}+DN_{IBGE,\,\mathbf{X}}}\\ \mathrm{alt_{\mathbf{X}}}&=691,421-39,697\\ \mathrm{alt_{\mathbf{X}}}&=651,724\,\text{m}\end{split}\]

Erro de esfericidade e refração

Quando o nivelamento é realizado entre pontos distantes em mais de \(100\,\text{m}\), a NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96] recomenda que o efeito da curvatura terrestre \((C_{c})\) e o da refração atmosférica \((C_{r})\) sejam compensadas.

Erro de esfericidade

Na Figura 80 são apresentados dois pontos topográficos, \(A\) e \(B\), na mesma linha de nível. A partir de \(A\) é realizada uma visada horizontal para medidas de elevação. A medida que um ponto a ser medido se afasta de \(A\), há um aumento da separação entre a linha horizontal e a linha de nível que passa por \(A\). Por exemplo, em \(B\), que está na mesma linha de nível de \(A\), há uma separação, correspondendo a \(BC\). A esta separação denominamos \(C_{c}\). Do triângulo retângulo \(AOC\) :

(90)\[\begin{split}OC^{2}&=OA^{2}+AC^{2}\nonumber \\ (R+C_{c})^{2}&=R^{2}+\mathrm{DH^{2}}\nonumber \\ R^{2}+2RC_{c}+C_{c}^{2}&=R^{2}+\mathrm{DH^{2}}\nonumber \\ C_{c}(2R+C_{c})&=\mathrm{DH^{2}}\nonumber \\ C_{c}&=\frac{\mathrm{DH^{2}}}{2R+C_{c}}.\end{split}\]

considerando o valor de \(R\) como sendo a média dos raios do WGS84footnote{Raios do Datum WGS84: \(a=6\,378\,137\,\text{m}\), \(b=6\,356\,752,314\,\text{m}\), \(R=6\,367\text{ km}\); e no denominador da (90), \(2R+C_{c}\), o valor de \(C_{c}\) insignificante em relação a ordem de grandeza de \(2R\), tem-se, para \(C_{c}\) em metros e \(\mathrm{DH}\) em km a Equação:

(91)\[\begin{split}C_{c}&=1\,000\frac{\mathrm{DH^{2}}}{2R}\\ C_{c}&=0,07853\mathrm{DH^{2}}.\end{split}\]

Com a finalidade de ilustrar o efeito de \(C_{c}\), imagine uma embarcação, que em \(A\) é verificado que a sua altura é de \(4\,\text{m}\). Se ela parte ao mar, quando estiver a uma distância de aproximadamente \(7,14\,\text{km}\) de \(A\) \((\mathrm{DH}=(4/0,07853)^{0,5})\), Equação (91), não será mais possível observá-la. É lógico que a embarcação não ficou \(4\,\text{m}\) menor, é apenas o efeito de \(C_{c}\) que, estando a embarcação a \(7,14\,\text{km}\) de \(A\), faz com que ela não seja mais visível. Daí pode-se concluir que, devido à \(C_{c}\), qualquer ponto que esteja a uma distância de \(7,14\,\text{km}\) de onde se está realizando a medida de \(\mathrm{DN}\), tem-se que considerar que a \(\mathrm{DN}\) é \(4\,\text{km}\,\text{m}\) aior do que a calculada, quando considerando o erro devido a esfericidade da terra.

Figura 80 Elementos básicos para definição do efeito da curvatura terrestre \((C_{c})\) e da refração \((C_{r})\) sobre as medidas de altitude.

Erro de refração

A luz, ao passar pela a atmosfera, é refratada para a Terra, assim os objetos parecem ser mais altos do que eles realmente são. Na Figura Figura 80 é apresentada como seria uma visada horizontal \(AH\), mas como realmente é o trajeto da luz, \(AD\). A refração atmosférica depende das condições atmosféricas, da altitude, do ângulo de visada e da distância medida. Para visadas horizontais, com \(C_{r}\) em metros e a \(\mathrm{DH}\) em quilômetro:

(92)\[C_{r}=0,011\mathrm{DH^{2}}.\]

Erro de esfericidade e refração combinado

A combinação dos \(C_{c}\) e \(C_{r}\) resulta em \(C_{cr}\), ou seja, a compensação que deve ser aplicada nas medidas de altimétricas a pontos distantes entre si em mais de \(100\,\text{m}\). Como \(C_{c}\) resulta em alturas menores e \(C_{r}\) os pontos parecem ser mais altos, a compensação, \(C_{cr}\) é:

(93)\[\begin{split}C_{cr}&=0,07853\mathrm{DH}^2-0,011\mathrm{DH}^2\nonumber \\ C_{cr}&=0,06753\mathrm{DH}^2\end{split}\]

Mais uma vez, a unidade de \(C_{cr}\) é metro e a \(\mathrm{DH}\) em quilômetro.

---

Exemplo 2 Qual será o erro cometido em um nivelamento se não for considerado o efeito da curvatura da terra e da refração atmosférica na medida de \(\mathrm{DN}\) entre pontos distantes entre si em \(1\,398\,\text{m}\)?

Solução: Considerando a \(\mathrm{DH}\) em km e de acordo com a Equação (93):

\[\begin{split}C_{cr}&=0,06753\cdot1,398^2\\ &=0,132\,\text{m}\end{split}\]

O erro cometido corresponderia a \(0,132\,\text{m}\) para menos na \(\mathrm{DN}\) entre os pontos.

---

Exemplo 3 No exemplo 1, considere que na \(\mathrm{DN}\) de \(-39,697\,\text{m}\), entre o marco do IBGE ao ponto \(\mathrm{X}\), não foi considerado o erro de curvatura e de refração \((C_{cr})\). Calcule novamente a altitude de \(\mathbf{X}\) aplicando a correção para \(C_{cr}\). Considere a distância entre os pontos de \(753,982\,\text{m}\).

Solução: Uma vez que se queira realizar a compensação, basta aplicar à \(\mathrm{DN}\) a \(C_{cr}\), desta forma:

\[\begin{split}\mathrm{\mathrm{alt_{\mathbf{X}}}}&=\mathrm{alt_{IBGE}+DN_{IBGE,\,\mathbf{X}}+}C_{cr}\\ &=\mathrm{alt_{IBGE}+DN_{\mathbf{X}IBGE}}+0,06753\mathrm{DH^{2}}\\ &=691,421-39,697+0,06753\cdot0,753\,982^{2}\\ &=651,762{\rm \,m.}\end{split}\]

---

Declividade

A declividade mede o grau de inclinação do terreno, podendo ser calculada em percentagem \(d(\%)\) ou em graus \(d(^{\circ})\), conforme, respectivamente, as Equações (94) e (95):

(94)\[d(\%)=100\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DH}}\]

(95)\[d(^{\circ})=\arctan\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DH}}\]

A declividade é um parâmetro importante pois, de acordo com a grandeza da declividade do terreno, pode haver limitação: ao uso agrícola; à utilização de equipamentos agrícolas, como tratores; à construção de estrada, uma vez que no transporte de cargas em caminhões, por exemplo, há um limite para sua circulação em rampas com alta declividade. Valores positivos e negativos de \(d(\%)\) e \(d(^{\circ})\) representam, respectivamente, o terreno aclive e declive (ver Figura 81).

Figura 81 Exemplo gráfico e numérico de terreno em aclive e em declive. O eixo-\(x\) representa a distância horizontal e o eixo-\(y\), a altitude ou a cota do terreno.

---

Exemplo 4 Calcule a declividade em percentagem e graus para uma \(\mathrm{DN}\) e \(\mathrm{DH}\) entre dois pontos de \(-27,9\,\text{m}\) e \(162,2\,\text{m}\), respectivamente?

Solução: A \(\mathrm{DN}\) negativa tem como significado que o terreno onde foi realizada a medição se apresenta em declive do ponto inicial ao final, isto é, ponto inicial tem cota/altitude maior do que o ponto final.

• A declividade em percentagem:

\[\begin{split}d(\%)&=\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DH}}100\\ &=\frac{-27,9}{162,2}100\\ &=-17,201\%.\end{split}\]

• Em graus:

\[\begin{split}d(^{\circ})&=\arctan\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DH}}\\ &=\arctan\frac{-27,9}{162,2}\\ &=-9^\circ45'36''.\end{split}\]

---

Uma maneira de interpretar o valor da declividade em percentagem é, por exemplo, de acordo com o Exemplo 4, se o terreno fosse uniforme com \(d(\%)=-17,201\), quando fosse percorrido uma \(\mathrm{DH}\) de \(100\,\text{m}\), a \(\mathrm{DN}\) seria de \(-17,201\,\text{m}\).

Nivelamento

Em topografia, chama-se de nivelamento, aos métodos utilizados para medir a \(\mathrm{DN}\), a altitude ou a cota. Vários são os métodos que podem ser empregados para o nivelamento. A utilização de um ou outro método dependerá dos objetivos do nivelamento (ver NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]). Nesta seção serão apresentados os métodos: i) Nivelamento barométrico; ii) Nivelamento trigonométrico; iii) Nivelamento trigonométrico; iv) Nivelamento GNSS; e v) Nivelamento geométrico.

Nivelamento barométrico

Por meio de equipamentos que medem a pressão do ar, que denominam-se barômetros, é possível encontrar a \(\mathrm{DN}\) entre os pontos. A explicação é dada pela relação inversa que há entre pressão do ar e a altitude (Figura 82). Quanto mais alto um ponto, menor é a camada atmosférica atuando nele, logo, menor será a pressão devida à atmosfera. Por outro lado, um ponto em uma altitude menor, está sujeito a uma maior camada de ar, resultando numa maior pressão atmosférica [Esp60]. A pressão do ar depende também da temperatura do ar e em menor grau da umidade e da latitude do lugar (ver [DF82], página 222).

Figura 82 Relação entre pressão atmosférica e altitude.

Existem vários tipos de barômetros, destacando-se os de mercúrio e os aneroides. O barômetro de mercúrio, é constituído de um recipiente, fechado de um lado e aberto do outro. É colocado mercúrio nesta coluna e a parte aberta é virada em um reservatório. Na parte superior é criado um vácuo, que será equilibrado de acordo com a pressão atmosférica que é aplicada no reservatório (Figura 83). Ao nível do mar, a coluna mede \(760\,\text{mm}\). Quanto maior a pressão atmosférica, maior a força agindo sobre o reservatório, forçando a coluna de mercúrio a subir. Uma variação de \(1\,\text{mm}\) na coluna de mercúrio corresponde a aproximadamente uma variação de \(11\,\text{m}\) de altitude. Estes equipamentos devem ser evitados por apresentarem pouca precisão, por exemplo, segundo [DF82], um erro de \(\pm2\,\text{m}\) (\(\pm0,15\,\text{mm Hg}`\) à \(\pm0,19\,\text{mm Hg}\)) pode ser encontrado para uma diferença de elevação de \(200\,\text{m}\).

Figura 83 Barômetro de mercúrio ao nível do mar.

Os barômetros do tipo aneroides consistem de uma pequena caixa flexível onde o ar interno é retirado, criando-se um vácuo. Na medida que a pressão do ar muda, a membrana da caixa se deforma, comprimindo-se os expandindo-se. Um mecanismo mede esta deformação, que está relacionada a pressão do ar, e é mostrado em uma escala graduada e em painel digital. São mais precisos que os de mercúrio, por exemplo, o aumento precisão na medida de pressão resulta em desvio padrão da \(\mathrm{DN}\) entre pontos de \(\pm0,8\,\text{m}\) (ver [DF82], página 224).

Nivelamento trigonométrico

Nivelamento trigonométrico é aquele em que a \(\mathrm{DN}\) é avaliada com o auxílio das funções trigonométricas. Em campo são medidos: o ângulo vertical e a \(\mathrm{DI}\) ou a \(\mathrm{DH}\) entre os pontos de interesse. As medidas de distâncias podem ser realizadas utilizando a trena, o teodolito ou a estação total, e as angulares, com estes dois últimos equipamentos ou com clinômetros. Na Figura 84 é apresentado um esquema do nivelamento trigonométrico para medidas de \(\mathrm{DN}\) entre os pontos \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\), materializados por piquetes. No ponto \(\mathrm{A}\) é estacionada a estação total, e em \(\mathrm{B}\), o prisma. O centro da estação total corresponde a \(\mathrm{C}\), e a interseção da linha horizontal que passa por C com a linha vertical que passa por \(\mathrm{B}\), corresponde à \(\mathrm{E}\). A distância vertical entre \(\mathrm{E}\) e \(\mathrm{D}\) denominaremos por \(V\). Considerando o triângulo retângulo \(\mathrm{CED}\) e que foi medida a \(\mathrm{DI}\), tem-se \(V\):

(96)\[V =\mathrm{DI}\cos z,\]

(97)\[V =\mathrm{DI}\sin\alpha,\]

para medidas de \(\mathrm{DH}\):

\[\begin{split}V&=\mathrm{DH}\cot z,\\ V&=\mathrm{DH}\tan\alpha,\end{split}\]

A distância \(\mathrm{BD}\) corresponde à altura do prisma \((ap)\). É facilmente obtida por meio da leitura na régua presente no bastão em que o prisma está conectado. A altura do equipamento \(\mathrm{AI}\), distância vertical entre \(\mathrm{C}\) e \(\mathrm{A}\), pode ser obtida com uma trena. Com estas definições, para a determinação da \(\mathrm{DN}\) tem que somar a \(V\), a \(\mathrm{AI}\) e subtrair \(ap\):

(98)\[\mathrm{DN}=V+ai-ap.\]

Para realizar a correção para os efeitos da curvatura da terra e da refração atmosférica no nivelamento trigonométrico, basta somar à Equação (98) o valor de \(C_{cr}\), isto é:

(99)\[\mathrm{DN}=V+ai-ap+C_{cr}.\]

O valor de \(\mathrm{DN}\) poderá ter valores positivos ou negativos. Valores positivos indicam que o terreno está em aclive, enquanto valores negativos, terreno em declive. Por exemplo, caso a \(\mathrm{DN}\) seja positivo, indica que a cota ou altitude de \(\mathrm{B}\) é maior que em \(\mathrm{A}\).

Figura 84 Elementos básicos para o nivelamento trigonométrico.

---

Exemplo 5 Em um levantamento para determinar a \(\mathrm{DN}\) entre os pontos \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\), estacionou-se a estação total em \(\mathrm{A}\) e, em \(\mathrm{B}\), o prisma. Da estação total mirou-se o prisma, resultando na DI de \(322,567\,\text{m}\). Anotou-se também: o ângulo zenital de \(85^\circ24'\); a altura do instrumento de \(1,769\,\text{m}\); e a altura do prisma de \(2,000\,\text{m}\). Pergunta-se, qual a \(\mathrm{DN}\) entre \(\mathrm{A}\) e \(\mathrm{B}\), sem e com os efeitos da curvatura da terra e da refração atmosférica sendo considerado?

Solução: Sem \(C_{cr}\), considerando a Equação (98) com o valor de \(V\) dado pela Equação (96), pois os dados disponíveis são DI e \(z\), tem-se:

\[\begin{split}\mathrm{DN_{AB}}&=\mathrm{DI_{AB}}\cos z+ai-ap\\ &=322,567\cos85^{\circ}24'+1,769-2,000\\ &=25,638\,{\rm m.}\end{split}\]

No cálculo de \(\mathrm{DN}\) considerando \(C_{cr}\), utiliza-se a Equação (99). Para \(C_{cr}\) (Equação (93)) \(\mathrm{DH}\) é na unidade de \(\mathrm{km}\), então por trigonometria:

\[\begin{split}\mathrm{DH_{AB}}&=\frac{\mathrm{\mathrm{DI}}\sin z}{1000}\\ &=\frac{322,567\sin85^{\circ}24'}{1000}\\ &=0,3215{\rm \,km.}\end{split}\]

Por fim, aplicando-se a Equação (99), tem-se:

\[\begin{split}\mathrm{DN_{AB}}&=\mathrm{DI_{AB}}\cos z+ai-ap+C_{cr}\\ &=\mathrm{DI}\cos z+ai-ap+0,06753\mathrm{DH^{2}}\\ &=322,567\cos85^{\circ}24'+1,769-2,000+0,06753\cdot0,3215^{2}\\ &=25,646\,{\rm m.}\end{split}\]

Nivelamento taqueométrico

De acordo com a Figura 85, agora, em A, é estacionado um teodolito e em B, uma mira. O nivelamento taqueométrico é aquele realizado por meio das leituras dos retículos sobre a mira e do ângulo vertical com o auxílio do teodolito. Sendo \(V\), a distância vertical entre o plano que passa pelo centro do equipamento ao que passa por \(rm\), temos:

(100)\[V=100H\cos z\sin z=\frac{100H\sin2z}{2}\]

em que: \(H=(rs-ri)\) sendo, \(rs\) e \(ri\), respectivamente, a leitura sobre a mira em B dos retículos superior e inferior.

Figura 85 Esquema para o nivelamento taqueométrico.

Para calcular a \(\mathrm{DN}\), aplicam-se as Equação (98) ou (99), esta última se \(C_{cr}\) for utilizado. O valor da altura do prisma \((ap)\), nestas Equações, é substituído pela leitura do retículo médio \((rm)\).

Por se tratar de um método que é a cada dia menos empregado nos levantamentos topográficos, não será apresentado a determinação Equação (100). Aos interessados, consultar [God88], [CT03] e [CMD07], entre outros.

---

Exemplo 6 Com um teodolito no ponto 9 de cota \(100,0\,{\rm m}\), visou-se o ponto 10, onde foram medidos: a altura do instrumento de \(1,532\,{\rm m}\); visando-se a mira em 10, as leitura do \(rs=2,984\,{\rm m}\) e do \(ri=0,200\,{\rm m}\); e ângulo zenital de \(97^{\circ}\). Determine a diferença de nível entre os pontos \(9\) e \(10\) e a cota em \(10\).

Solução: Da Equação (100), verifica-se que temos que determinar \(rm\). Em taqueometria, \(rs-rm\) é igual a \(rm-ri\), desta forma:

\[\begin{split}rs-rm&=rm-ri\\ 2rm&=rs+ri\\ rm&=\frac{rs+ri}{2}\\ rm&=\frac{2,984+0,200}{2}\\ rm&=1,592\,{\rm m.}\end{split}\]

Substituindo as medidas na Equação (100) tem-se para \(V\):

\[\begin{split}V&=\frac{100H\sin2z}{2}\\ &=\frac{100(2,984-0,200)\sin(2\cdot97^{\circ})}{2}\\ &=-33,676\,{\rm m.}\end{split}\]

Aplicando a Equação (98) com \(ap\) igual a \(rm\):

\[\begin{split}\mathrm{DN_{9,10}}&=V+ai-rm\\ &=-33,676+1,532-1,592\\ &=-33,736\,{\rm m.}\end{split}\]

Para o transporte da cota em \(9\) para o ponto \(10\):

\[\begin{split}\mathrm{cota_{10}}&=\mathrm{cota_{9}+DN_{9,10}}\\ &=100-33,736\\ &=66,264\,{\rm m.}\end{split}\]

---

Nivelamento GNSS

Como já foi visto anteriormente, a altitude que os receptores GNSS determinam, corresponde à distância vertical do centro físico da antena do receptor ao Datum horizontal considerado. Esta distância é denominada de altitude geométrica \((h)\). A altitude que trabalhamos é a altitude em relação ao geóide, altitude ortométrica \((H)\), que é a distância vertical do ponto na superfície ao geóide, isto é, aproximadamente ao nível médio dos mares. Valores de \(H\) são, normalmente, medidos por meio do Nivelamento geométrico. Todavia, pode-se obter \(H\) se conhecer \(h\), medida por GNSS e, a ondulação geoidal \((N)\) local, diferença entre \(h\) e \(H\) (Equação (101) e Figura 86 a).

(101)\[H\approx h-N\]

Na Figura 86 b é apresentado a partir do modelo EGM96, a \(N\) para parte da região da América do Sul. O EGM96 tem como referência o Datum WGS84. Valores positivos indicam que o geóide está acima do WGS84, e negativos, abaixo. Segundo este modelo, no Acre \(N\approx30\,\mathrm{m}\), já no Amapá, \(N\approx-30\,\mathrm{m}\). Na América do sul, os maiores valores se encontram nas Cordilheira dos Andes, com \(N\approx50\,\mathrm{m}\).

Figura 86 Relação entre altura ortométrica \((H)\), altura geométrica \((h)\) e ondulação geoidal \((N)\) em (a). Ondulação geoidal segundo EGM96 [LKF+98], tendo \(h\) em relação ao WGS84 (b).

Abaixo segue um mapa iterativo da ondulação geoida, \(N\) em metros, para a América do Sul segundo um outo modelo, o EGM2008, disponíbilizado no site ICGEM. Neste exemplo, os valores de \(N\) também são relativos ao Datum WGS84.

Valores de \(N\) com relação ao nosso Datum horizaontal, o SIRGAS2000, podem ser obtidos por meio do site HgeoHNOR2020. Observa-se que, para obter o valor de \(N\) de forma correta, as coordenadas a serem inseridas devem estar referir ao Datum SIRGAS2000. Uma vez conhecidos os valores de \(h\), obtidos pelo receptor GNSS, e de \(N\) (HgeoHNOR2020), pode-se calcular \(H\) pela Equação (101).

Sobre HgeoHNOR2020.

A precisão na determinação de \(H\), dependerá: i) da precisão de \(h\) ou seja, do tipo de receptor GNSS, do método de posicionamento, e ii) da precisão da estimativa da \(N\). Para a \(N\) do modelo HgeoHNOR2020, segundo IBGE [IBGE21], o resíduo (reqm, raiz do erro quadrático médio) em ralação à \(N\) estimadas e a medida por meio de GNSS em pontos onde se conhecia o valor de \(H\), pontos de RN do IBGE, foi de \(6,5\,\text{cm}\).

Para aumentar a precisão do receptor, ou seja, a \(h\), sugere-se utilizar os métodos de medidas relativas e por diferença de fase por onda portadora. Já, para aumentar a precisão no que diz respeito a \(N\), pode-se realizar a sua calibração local. Esta calibração não será apresentada, por este texto ser apenas introdutório à esta disciplina. Maiores detalhes podem ser encontrados em [WG04].

---

Exemplo 7 Encontre, por meio do programa HgeoHNOR2020, a ondulação geoidal para um ponto de coordenadas \(-22^{\circ}6'41''\) de latitude e \(-41^{\circ}54'8''\) de longitude, no Datum SIRGAS2000. Sabendo-se que a altura geométrica calculada pelo receptor GNSS nesta coordenada foi de \(562,672\,\text{m}\), qual a altitude ortométrica.

Solução: Com as coordenadas e o Datum apresentados acima, obteve-se por meio do HgeoHNOR2020 o valor de \(N\) de \(-6,54\,\text{m}\). Para calcular a altitude ortométrica \((H)\), aplica-se a Equação (101):

\[\begin{split}H&=h-N\\ &=562,672--6,54\\ &=569,212\,\rm{m.}\end{split}\]

---

Exemplo 8 Trabalhando com receptores GNSS com a técnica de medida relativa por diferença de fase, obteve-se para um ponto a altitude geométrica de \(231,849\,\text{m}\) no Datum SIRGAS2000. Utilizando o programa HgeoHNOR2020, foi encontrado a ondulação geoidal de \(-12,598\,\text{m}\). Calcule a altitude ortométrica.

Solução: Da Equação (101), e com os dados apresentados acima, temos:

\[\begin{split}H&=h-N\\ &=231,849--12,598\\ &=244,447\,\rm{m.}\end{split}\]

---

Sugestão de aula prática

Levantamento de ponto inacessível

Introdução: Um problema comum em topografia é ter pontos onde se deseja conhecer sua altitude ou, a \(\mathrm{DN}\) entre ele e o ponto da estação. Isto é facilmente resolvido se for possível levar ao ponto de interesse, uma mira ou um prisma, respectivamente, para levantamento com teodolito ou estação total, Secções Nivelamento trigonométrico e Nivelamento taqueométrico. Todavia, em algumas situações, este procedimento não pode ser realizado devido, por exemplo, a não se ter acesso ao ponto de interesse.

Objetivo: Determinar a \(\mathrm{DN}\) entre o ponto em que a estação total está estacionada, a um ponto inacessível, escolhido em campo.

Material: Estação total, prisma, trena e estaca.

Procedimento: é apresentado graficamente abaixo, onde: A é o ponto de referência para a medida de \(\mathrm{DN}\), primeiro ponto onde a estação total será estacionada; O é o ponto inacessível; B é uma posição onde se tem acesso; AB é a base, onde é medida a \(\mathrm{DH_{AB}}\); \(\alpha\) e \(\beta\) são os ângulos horizontais medidos em A e B, respectivamente; \(\mathrm{AI}\) é a altura do instrumento em A, medida com a trena.

Nivelamento geométrico

O nivelamento geométrico (NG) é aquele em que, a DN, a cota ou a altitude, é calculada por meio de visadas horizontais às miras localizadas sobre os pontos de interesse [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]. Os equipamentos topográficos que fazem visadas horizontais são denominados de níveis.

Se o NG é realizado de uma única estação, ponto em que o nível é estacionado, denomina-se nivelamento geométrico simples (NGS). Caso tenha que ocorrer mudança de estação, denomina-se de nivelamento geométrico composto (NGC). A seguir são descritos uma breve explicação das duas metodologias.

Nivelamento geométrico simples (NGS)

Na Figura 87 é apresentado o procedimento para o nivelamento entre dois pontos, o \(A\) e o \(B\). O nível é estacionado, de preferência em um ponto intermediário à \(A\) e \(B\). Ao primeiro ponto em que é realizada a leitura na mira, denomina-se de ponto de \(\mathrm{ré}\), no nosso exemplo o ponto \(A\). Este ponto deve ter a sua \(\mathrm{cota}\) ou altitude conhecida, será a \(RN\). Uma vez conhecida a \(\mathrm{cota}\) ou a altitude do ponto de ré, pode-se calcular a altura do instrumento \(\mathrm{AI}\), Equação (102)), distância vertical do centro do equipamento ao Datum vertical utilizado.

(102)\[\mathrm{AI}=\mathrm{cota+\text{ré}}\]

Os demais pontos de um NGS denominam-se de pontos de vante. Logo, a leitura da mira em \(B\), é de vante. A \(\mathrm{cota}\) dos pontos de vante é calculada subtraindo da (102) o valor da sua leitura de vante, isto é:

(103)\[\mathrm{cota=AI-vante}.\]

Observe que o conceito de \(\mathrm{AI}\) para o NG é diferente do que foi visto no nivelamento trigonométrico e taqueométrico, onde a altura do instrumento \(\mathrm{AI}\) é a distância vertical do centro do equipamento ao piquete ou ao marco do ponto onde o equipamento está estacionada.

Figura 87 Nivelamento geométrico simples.

De acordo com a Figura 87 a, suponha que se deseja calcular a \(\mathrm{cota}\) de \(B\) e a \(\mathrm{DN}_{AB}\). O ponto \(A\) tem \(\mathrm{cota}\) de \(253,543\,\text{m}\), \(RN\) do levantamento. Inicialmente estaciona-se o nível em um ponto intermediário aos pontos \(A\) e \(B\) e, sobre o ponto \(A\), é colocada a mira. Não há a necessidade do nível estar alinhado com os pontos \(A\) e \(B\), no entando a distância deveria ser aproximadamente igual aos pontos de interesse. A mira em \(A\) é visada com o nível e, realiza-se a leitura, denominada de \(\mathrm{ré}\). Considere o valor de \(\mathrm{ré}\) de \(3,580\,\text{m}\) (Figura 87 b). Pode-se, de acordo com a Equação (102), calcular a AI:

\(\mathrm{AI}=253,543+3,580=257,123\,\text{m}\).

O próximo passo é deslocar a mira para \(B\), ponto de \(\mathrm{vante}\). Faz-se a leitura com a luneta do nível apontado sobre a mira em \(B\), onde, para este exemplo, o valor de \(0,643\,\text{m}\), leitura de \(\mathrm{vante}\) (Figura 87 c). Desta forma, a \(\mathrm{cota}_{\textit{B}}\) é (Equação (103)):

\(\mathrm{cota}_{B}=257,123-0,643=256,480\,\text{m}\).

Uma vez conhecidas as \(\mathrm{cotas}\) de \(A\) e \(B\), a \(\mathrm{DN}_{\textit{AB}}\) (Figura 87 d) será:

\[\begin{split}\mathrm{DN}_{\textit{AB}}&=\mathrm{cota}_{B}-\mathrm{cota}_{A}\\ \mathrm{DN}_{\textit{AB}}&=256,480-253,543\\ \mathrm{DN}_{\textit{AB}}&=2,937\text{ m.}\end{split}\]

---

Supondo-se que há outras estacas (pontos) a serem levantados, os dados terão que ser tabelados de forma organizada. Na Figura 88 é apresentado um exemplo de caderneta de campo para o NGS com cinco pontos \(A,\,B,\,C,\,D\) e \(E\). Nesta Tabela, a coluna: (I) é a posição onde a mira foi estacionada e se fez a leitura; (II) é o valor da leitura de \(\mathrm{ré}\), o primeiro ponto visado; (III) é altura do instrumento (Equação (102)); (IV) são as leituras de \(\mathrm{vante}\) e; (V), com exceção da estaca \(A\), referência de nível, são as \(\mathrm{cotas}\) calculadas (Equação (103)). Para o cálculo das \(\mathrm{cotas}\), a \(\mathrm{AI}\) é sempre igual a \(257,123\,\text{m}\), modificando-se apenas os valores das leituras de \(\mathrm{vante}\) dos pontos. Um fato importante a ser observado nesta Tabela de nivelamento, é que não é possível conhecer a distribuição espacial dos pontos na superfície terrestre, uma vez que não são apresentadas, por exemplo, as suas respectivas coordenadas. Se for necessário conhecer a distribuição espacial dos pontos no plano, terá que ser realizado o levantamento planimétrico para os pontos do NG. A título de ilustração, a Figura 89 apresenta uma possível configuração espacial dos pontos referentes aos dados da Figura 88 em uma superfície topográfica.

Figura 88 Exemplo de caderneta de campo.

Figura 89 Exemplo da distribuição espacial dos pontos do NGS da Figura 88.

---

Exemplo 9 Com os dados da caderneta de campo de um NGS, figura a seguir, calcule as \(\mathrm{cotas}\) dos pontos \(1,\,2,\,3,\,4\) e \(5\). Considere o ponto \(0\) como sendo a \(\mathrm{RN}\), com \(\mathrm{cota}\) atribuída de \(100\,\text{m}\).

Solução: De acordo com as Equações (102) e (103), a solução é apresentada na Tabela que segue, onde, em negrito são as respostas e, em parenteses, os cálculos realizados.

Table 14 Compensação do erro angular pelo método linear

Ponto	\(\mathbf{ré}\)	\(\mathbf{AI}\)	\(\mathbf{vante}\)	\(\mathbf{cota}\)
\(0\)	\(1,937\)	\(\mathbf{101,937}\,(100+1,937)\)		\(100,000\)
\(1\)			\(2,189\)	\(\mathbf{99,748}\,(101,937-2,189)\)
\(2\)			\(3,105\)	\(\mathbf{98,832}\,(101,937-3,105)\)
\(3\)			\(0,825\)	\(\mathbf{101,112}\,(101,937-0,825)\)
\(4\)			\(0,194\)	\(\mathbf{101,743}\,(101,937-0,194)\)
\(5\)			\(0,491\)	\(\mathbf{101,446}\,(101,937-0,491)\)

---

Nivelamento geométrico composto (NGC)

Quando de uma única estação, ponto em que o nível é estacionado, não se consegue fazer a visada para o ponto de interesse, há a necessidade de realizar a mudança do equipamento, para que os outros pontos possam ser medidos. A este NG, com mudança de estação, denomina-se de nivelamento geométrico composto (NGC).

O procedimento inicial do NGC é o mesmo do NGS. Inicialmente faz-se a leitura de \(\mathrm{ré}\) em um ponto de \(\mathrm{cota}\) conhecida ou estabelecida (RN). Os próximas pontos a serem visados também são denominadas de pontos \(\mathrm{vante}\), todavia, eles podem ser de dois tipos, ponto intermediário \((\mathrm{PI})\) ou ponto de mudança \((\mathrm{PM})\). Será \(\mathrm{PI}\) até o penúltimo ponto a ser visado de uma determinada estação e, \(\mathrm{PM}\) é o último ponto observado da estação. Desta forma, no NGC, após a leitura de um \(\mathrm{PM}\), o equipamento é colocado em outra estação, tendo que realizar em seguida, a sua primeira visada, sobre a mira no \(\mathrm{PM}\) da estação anterior. Esta leitura, agora realizada da nova estação, também é denominada de \(\mathrm{ré}\). Pode-se então calcular a nova \(\mathrm{AI}\) (Equação (102)).

As \(\mathrm{cotas}\) dos pontos \(\mathrm{vante}\) de uma nova estação, que poderão ser \(\mathrm{PI}\) ou \(\mathrm{PM}\), serão calculadas pela Equação (103). O último ponto medido no NGC é sempre denominado de \(\mathrm{PM}\).

Os cálculos do NGC podem ser verificados de acordo com a Equação (104). Nesta verificação, não é observado se o trabalho foi bem realizado ou não. Ela apenas informa se os cálculos foram feitos corretamente. A avaliação da qualidade do levantamento será avaliada na seção (105).

(104)\[\Sigma\mathrm{{r\acute{e}}}-\Sigma\mathrm{PM}=\mathrm{\text{cota}_{final}}-\mathrm{\text{cota}_{inicial}}.\]

---

Exemplo 10 Com os dados de um NGC coletados em campo conforme o esquema gráfico a seguir, calcule as \(\mathrm{cotas}\) das estacas (pontos materializados em campo por estacas).

Solução: Solução na Tabela abaixo, sendo que em negrito são os valores calculados e, entre parenteses, os cálculos realizados.

Table 15 Tabela dos cálculos

Estaca	\(\mathbf{ré}\)	\(\mathbf{AI (cota+ré)}\)	\(\mathbf{PI}\)	\(\mathbf{PM}\)	\(\mathbf{cota (AI-vante)}\)
\(0\)	\(0,796\)	\(\mathbf{200,796}(200,000+0,796)\)			\(200,000\)
\(1\)			\(1,491\)		\(\mathbf{199,305}(200,796-1,491)\)
\(2\)	\(0,264\)	\(\mathbf{197,359}(197,095+0,264)\)		\(3,701\)	\(\mathbf{197,095}(200,796-3,701)\)
\(3\)	\(0,450\)	\(\mathbf{193,920}(193,470+0,450)\)		\(3,889\)	\(\mathbf{193,470}197,359-3,889)\)
\(4\)			\(1.982\)		\(\mathbf{191,938}(193,920-1,982)\)
\(5\)	\(0,868\)	\(\mathbf{191,142}(190,274+0,868)\)		\(3,646\)	\(\mathbf{190,274}(193,920-3,646)\)
\(6\)				\(3,317\)	\(\mathbf{187,825}(191,142 -3,317)\)

Verificando os calculos conforme (104):

\[\begin{split}\Sigma\mathrm{{r\acute{e}}}-\Sigma\mathrm{PM}&=\mathrm{\text{cota}_{final}}-\mathrm{\text{cota}_{inicial}}\\ 2,378-14,553&=187,825-200,000\\ -12,175&=-12,175\,\text{(OK!)}\end{split}\]

---

Cuidados no nivelamento geométrico

Alguns cuidados devem ser tomados em um NG a fim de se obter melhores resultados no NG. Podendo-se citar, por exemplo [Associação Brasileira de Normas Técnicas96]:

• medir sempre pontos de destaque no terreno, como depressões e elevações;

• repetição das medidas;

• utilização de equipamentos precisos;

• sejam estabelecidos pontos materializados para o controle do nivelamento;

• realização do nivelamento e o contra-nivelamente em horários destintos. Assim, pode-se calcular a diferença entre o desnível nas duas medições, e compará-lo com a tolerância do nivelamento (seção Tolerância para o nivelamento);

• os comprimentos das visadas de \(\mathrm{ré}\) e de \(\mathrm{vante}\) devem ser de no máximo \(80\,\text{m}\), minimizando os erros de refração e curvatura da terra, além de facilitar as leituras na mira. As distâncias podem ser medidas utilizando-se uma trena, ou mais comumente, com a leitura dos \(rs\), \(rm\) e \(ri\) e aplicando a fórmula taqueométricas. As informações de distâncias podem ser inseridas na tabela de campo do NGC com a inclusão de mais duas colunas, indicando as distâncias do nível ao ponto de \(\mathrm{ré}\) e de \(\mathrm{vante}\) ([Associação Brasileira de Normas Técnicas96], página 30);

• as visadas de \(\mathrm{ré}\) e de \(\mathrm{vante}\) devem ser à uma altura em relação ao solo, superior a \(0,50\,\text{m}\), com a finalidade de minimizar o problema de reverberação;

• a mira deve ser de madeira e dobrável, não de encaixe, devendo ser apoiada sobre sapatas. A sapara é um equipamento que é colocado no solo, e permite que a mira, sobre ele, gire sem se deslocar no ponto.

Tolerância para o nivelamento

Em um nivelamento, é sempre prudente realizar uma avaliação da qualidade do levantamento. A NBR 13133 [Associação Brasileira de Normas Técnicas96] estabelece os métodos, os equipamentos e as tolerâncias que serão permitidas, que dependerá da escala, da equidistância das curvas de nível e da densidade de pontos medidos.

A norma estabelece 4 classes de nivelamento: IN e IIN, nivelamento geométrico; IIIN, nivelamento trigonométrico e; IVN, nivelamento taqueométrico. Para cada classe é estabelecida a metodologia, equipamentos e a tolerância do erro de fechamento do nivelamento \((\textit{T}_{\textit{nivelamento}})\), para ser considerado aceitável:

(105)\[T_{\textit{nivelamento}}=a\,\sqrt{\text{K}}\]

em que: \(a\) dependerá da classe do nivelamento, por exemplo para a classe IIN [1], \(a=20\,\text{mm}\); \(K\) é a extensão nivelada em \(km\), medida num único sentido. Para os demais valores de \(a\), consultar NBR13133.

O erro de nivelamento pode ser obtido, por exemplo, das seguintes formas:

1. se for uma poligonal de nivelamento fechada, ponto de partida é o ponto de chegada, é só calcular a diferença entre as \(\mathrm{cotas}\) de partida e de chegada;

2. se for aberta e, se conhece a \(\mathrm{cota}\) do ponto de saida e final, o erro será a diferença entre a \(\mathrm{DN}\,\text{m}\) edida em campo e a \(\mathrm{DN}\) conhecida entre os pontos, ou comparando a cota final conhecida com a medida;

3. se a poligonal for aberta, mas sem conhecimento das \(\mathrm{cotas}\) de partida e de chegada, é realizado o nivelamento e o contra-nivelamente, e a \(\mathrm{DN}\) entre esses dois levantamentos, é o erro do nivelamento.

O procedimento para a compensação do erro do nivelamento pode ser, para o caso: (a) e (b), distribuir de forma linear o erro entre as estacas; e (c) distribuir o erro linearmente, por exemplo, nas \(\mathrm{cotas}\) do contra-nivelamento e, calcular a média entre as contas do nivelamento e do contra-nivelamente compensada. Maiores detalhes e outros métodos de ajuste para nivelamento podem ser encontrados em: [CT03] [pg. 84-89], [McC07] [pg. 122-125] e [WG04] [pg. 406-411].

---

Exemplo 11 Foram realizados um nivelamento e um contra-nivelamento de 800 m de extensão. A \(\mathrm{DN}\), entre o ponto inicial e final do nivelamento e do contra-nivelamento, foram de \(8,581\,\text{m}\) e \(-8,603\,\text{m}\), respectivamente. Este nivelamento é da classe IIN, de acordo com a NBR13133. Pergunta-se: o levantamento é aceitável?

Solução: Como se têm as medidas de \(\mathrm{DN}\) do nivelamento e do contra-nivelamento, pode-se obter o erro do nivelamento \((\textit{erro}_{\textit{nivelamento}})\), dada pelas diferenças das DNs em valores absolutos:

\[\begin{split}\textit{erro}_{\textit{nivelamento}}&=\left|-8,603\right|-\left|8,581\right|\\ &=0,022\text{ m.}\end{split}\]

Para a classe de IIN, o parâmentro \(a\) da Equação (105) é de \(20\,\text{mm}\). Com \(K\) de \(0,8\,\text{km}\), o erro máximo a ser tolerado:

\[\textit{T}_{\mathit{nivelamento}}=20\,\text{mm}\sqrt{0,8}=17,9\,\text{mm}.\]

Como \(\textit{erro}_{\textit{nivelamento}}>\textit{T}_{\textit{nivelamento}}\), o levantamento não é aceitável, novo levantamento deve ser realizado e, posterioremente, verificada se está de acordo com a tolerância.

---

Perfil topográfico

O perfil topográfico é um gráfico em que, o eixo- x} representa a distância horizontal, geralmente dado por números de estacas, e o eixo-\(y\) os valores das \(\mathrm{cotas}\) ou altitudes das respectivas estacas, determinadas em um nivelamento. A \(\mathrm{DH}\) entre as estacas, na maioria dos casos é constante, de \(10\,\text{m}\) em \(10\,\text{m}\) ou de \(20\,\text{m}\) em \(20\,\text{m}\), de acordo com o relevo. A metodologia mais empregada de nivelamento para a determinação do perfil topográfico é o nivelamento geométrico, por ser o mais preciso.

No desenho do perfil deve-se utilizar escalas para o eixo-\(x\), escala horizontal \((\mathrm{EH})\), distinta daquela utilizada no eixo-\(y\), escala vertical \((\mathrm{EV})\). As escalas devem ser diferentes devido às variações das DHs serem, na grande maioria dos casos, superiores às das DNs. Desta forma, se colocadas em mesma escala, não se poderia avaliar o perfil do terreno de forma adequada. Uma vez conhecida a EH, pode-se considerar inicialmente para teste, \(\mathrm{EV}=10\mathrm{EH}\) [God88]. Deve-se verificar se este valor é adequado para construção do perfil no tamanho do papel utilizado. Se necessário escolhe-se outra \(\mathrm{EV}\).

Na Figura 90 é apresentado o perfil do NG do Exemplo 10. As estacas espaçadas em \(20\,\text{m}\), no entanto, uma estaca a mais foi medida, localizada entre a \(3\) e a \(4\), a estaca \(3+12\,\text{m}\). Isto é, distante \(12\,\text{m}\) da estaca número \(3\). A necessidade da medição de uma estaca intermediária pode se dar por diversos motivo, por exemplo, cotar uma elevação ou depressão no terreno. Neste exemplo, a estaca \(3+12\,\text{m}\) está indicando a mudança de direção do levantamento. Entre as estacas \(0\) e \(3+12\,\text{m}\) o \(Az\) é de \(137^{\circ}22'\), posteriormente o \(Az\) é de \(101^{\circ}49'\).

Além dos azimutes, pode-se também, apresentar no gráfico do perfil topográfico, informações referentes a \(\mathrm{DH}\). Por exemplo, na Figura 90 é apresentada a \(\mathrm{DH}\) entre a estaca 0 e \(3+12\,\text{m}\), de \(72\,\text{m}\), e entre \(3+12\,\text{m}\) e \(6\), de \(48\,\text{m}\).

Figura 90 Representação gráfica do perfil topográfico do Exemplo 10.

Greide

Juntamente com o perfil do terreno, pode-se ter um greide, também denominado de rampa, com uma declividade (Equações (94) e (95)). O greide pode representar, por exemplo, o eixo onde uma estrada passará, um canal de irrigação ou a posição de uma rede de esgoto. Observando as \(\mathrm{cotas}\) do perfil topográfico com as do greide, pode-se também avaliar as áreas que serão cortadas ou aterradas, ou a profundidade de escavamento para posicionamento de uma rede de esgoto. A \(\mathrm{DN}\) entre a cota greide \((\mathrm{cota}_{\text{greide}})\) e a \(\mathrm{cota}\) do terreno \((\mathrm{cota}_{\text{terreno}})\) é denominada de \(\mathrm{cota}\) vermelha:

(106)\[\mathrm{CV}=\mathrm{cota}_{\mathrm{greide}}-\mathrm{cota}_{\mathrm{terreno}}\]

Desta forma, a \(\mathrm{CV}\) em um ponto, indicará se nele será realizado corte ou aterro, em que:

• se \(\mathrm{CV}\) for positiva, \(\mathrm{cota_{greide}}>\mathrm{cota_{terreno}}\), é um ponto de aterro;

• se \(\mathrm{CV}\) for negativa, \(\mathrm{cota_{greide}}<\mathrm{cota_{terreno}}\), é um ponto de corte e;

• se \(\mathrm{CV}\) for igual a zero, \(\mathrm{cota_{greide}}=\mathrm{cota_{terreno}}\), é um ponto de passagem \((PP)\), não haverá nem corte nem aterro.

Sempre que o sinal algébrico da \(\mathrm{CV}\) mudar entre estacas, haverá um PP. Na Tabela abaixo é apresentado um exemplo de uma caderneta de campo para um NGC com: as estacas de \(20\,\mathrm{m}\) em \(20\,\mathrm{m}\); as \(\mathrm{cotas}\) do terreno calculadas; um greide arbitrário; e as respectivas \(\mathrm{CV's}\). Na Figura 91 é apresentada a representação gráfica destes dados, inclusive com a posição dos PPs. O perfil do terreno apresentado começa na estaca \(5+13,5\,\text{m}\) de cota de \(200,00\,\text{m}\) e termina na estaca \(10+15,1\,\text{m}\) de cota \(202,1\,\text{m}\), ou seja, uma DN total de \(2,11\,\text{m}\), com o terreno em aclive entre a primeira estaca e a última.

Table 16 Apresentação da \(\mathrm{CV}\) em uma caderneta de campo.

Estacas	\(\mathrm{ré}\)	\(\mathrm{AI}\)	\(\mathrm{PI}\)	\(\mathrm{PM}\)	\(\text{cota}_{\text{terreno}}\)	\(\text{cota}_{\text{greide}}\)	\(\mathrm{CV}\)
\(5+13,5\,\text{m}\)	\(1,75\)	\(201,75\)			\(200,00\)	\(200,465\)	\(0,465\)
\(6\)			\(1,43\)		\(200,32\)	\(200,530\)	\(0,210\)
\(7\)			\(0,67\)		\(201,08\)	\(200,730\)	\(-0,350\)
\(8\)			\(0,50\)		\(201,25\)	\(200,930\)	\(-0,320\)
\(9\)	\(0,79\)	\(202,43\)		\(0,11\)	\(201,64\)	\(201,130\)	\(-0,510\)
\(10\)			\(1,59\)		\(200,84\)	\(201,330\)	\(0,490\)
\(10+15,1\,\text{m}\)				\(0,32\)	\(202,11\)	\(201,481\)	\(-0,629\)

Mais uma vez, a interpretação dos números das estacas intermediárias é: i) o primeiro número corresponde ao número da estaca anterior; e ii) o segundo número, caso ocorra, é a fração que a estaca se encontra em relação a estaca anterior. Então, a estaca inicial \(5+13,5\,\text{m}\) está \(13,5\,\text{m}\) à frente da estaca número \(5\), e \(6,5\,\text{m}\) atrás da estaca \(6\) \((20\,\text{m}-13,5\,\text{m})\). Segundo esta mesma linha de raciocínio, somando as distâncias entre as estacas, tem-se que a \(\mathrm{DH}\) entre as estacas inicial e final é de \(101,6\,\text{m}\) \((6,5+20\cdot4+15,1\)).

Figura 91 Perfil topográfico, greide e \(\mathrm{CV}\) dos dados apresentados na Tabela acima.

---

Exemplo 12 Com os dados da Tabela acima, pergunta-se: (a) qual é a declividade do greide (%); (b) qual a \(\mathrm{cota}\) do greide na estaca \(8\); (c) a estaca a \(\mathrm{cota}\) do segundo \(\mathrm{PP}\).

Solução: Questão (a): considerando as \(\mathrm{cotas}\) do greide nas estacas \(5+13,5\,\text{m}\) e \(10+15,1\,\text{m}\) e a \(\mathrm{DH}\) entre estas estacas de \(101,6\,\text{m}\):

\[\begin{split}d(\%) &=100\frac{\mathrm{DN}}{\mathrm{DH}}\\ &=\frac{201,481-200,465}{101,6}100\\ &=1\%.\end{split}\]

Questão (b): as \(\mathrm{cotas}\) do greide, que na Tabela acima são apenas apresentadas, são calculadas conhecendo-se: i) a declividade do greide, neste caso de \(1\%\) e, ii) as \(\mathrm{DH's}\) entre a primeira estaca às estacas de interesse, para o exercício, a 8. A \(\mathrm{DH}\) é de \(46,5\,\text{m}\) \({(6,5+20\cdot2)}\). Como a declividade do greide é de \(1\)%, tem-se que para uma \(\mathrm{DH}\) de \(100\,\text{m}\) neste greide, há uma \(\mathrm{DN}\) de \(1\,\text{m}\), então, para uma \(\mathrm{DH}\) de \(46,5\,\text{m}\), tem-se uma \(\text{DN}_{\mathrm{greide(8,5+13,5 m)}}\) de \(0,465\,\mathrm{m}\) \({\left(\frac{46,5}{100}1\right)}\), logo:

\[\begin{split}\mathrm{cota}_{\mathrm{greide, 8}}&=\mathrm{cota}_{\mathrm{greide,\,[5+13,5\,m]}}+\mathrm{DN}_{\mathrm{greide,\,([8],\,[5+13,5 m])}}\\ &=200,465+0,465\\ &=200,930\,\text{ m}.\end{split}\]

Questão (c): o segundo \(\mathrm{PP}\) encontra-se entre as estacas \(9\) e \(10\). A figura a seguir apresenta uma ampliação do perfil do terreno e do greide entre esras estacas. As \(\mathrm{CV}\) s são apresentadas em valores absolutos, uma vez que se vai avaliar as distância que separam o greide do terreno em valores absolutos. Seja \(x\) a DH da estaca \(9\) ao \(\mathrm{PP}\). Como a \(\mathrm{DH}\) entre as estacas é de \(20\,\text{m}\), a DH de PP à estaca 10 será de \(20-x\). Por semelhança de triângulos:

\[\begin{split}\frac{x}{0,51} &=\frac{20-x}{0,49}\\ x&=\frac{20\cdot0,51}{0,49+0,51}\\ x&=10,2\,\text{ m}.\end{split}\]

Desta forma, a estaca no ponto de passagem é \(9+10,2\,\text{m}\)}.

Para calcular o valor da \(\mathrm{cota}\) no \(\mathrm{PP}\), a \(\mathrm{DH}\) entre a estaca \({5+13,5\,\text{ m}}\) e a estaca no \(\mathrm{PP}\), \(9+10,2\,\text{ m}\), é de \(76,7\,\text{ m}\,(6,5+20\cdot3+10,2)\). Sendo a declividade do greide de \(1\%\), a \(\mathrm{DN}\) entre estas estacas é de \(0,767\,\text{ m}\) \(\left(\frac{76,7}{100}1\right)\)}. Desta forma:

\[\begin{split}\mathrm{cota}_{9+10,2\,\text{m}}&=\mathrm{cota}_{5+13,5\,\text{m}}+\mathrm{DN}\\ &=200,465+0,767\\ &=201,232\,\text{m}.\end{split}\]

---

Exercícios

1) Qual o erro que resultará se, a correção dos efeitos da curvatura da terra e de refração, for negligenciado em nivelamentos trigonométricos para pontos separados em:

1. \(100\,\text{m}\);

2. \(500\,\text{m}\);

3. \(1\,500\,\text{m}\);

4. \(4\,000\,\text{m}\);

Resp.: a) \(0,000\,7\,\text{m}\) ; b) \(0,016\,9\,\text{m}\) ; c) \(0,151\,9\,\text{m}\) ; d) \(1,080\,4\,\text{m}\) .

---

2) Qual o princípio de funcionamento dos barômetros?

Resp.: ver texto e referências.

---

3) Com uma estação total no ponto \(A\), de altitude \(1.392,869\,\text{m}\), visou-se um prisma sobre o ponto \(P\), registrando-se os seguintes valores: \(z=81^{\circ}2'45''\); \(\mathrm{DI_{AP}}=792,298\,\text{m}\); \(\textit{ai}=1,521\,\text{m}\); \(\textit{ap}=1,775\,\text{m}\). Considerando o erro da curvatura da terra e o de refração, qual a altitude em \(P\)?

Resp.: Altitude em \(P=1.515,972\,\text{m}\) .

---

4) Um nivelamento foi realizado da estação \(A\) para \(B\), sendo a altitude de \(B\) de \(409,56\,\text{m}\). Obteve-se os seguintes dados: \(z_{\mathrm{AB}}=86^{\circ}8'47''\); \(\mathrm{DI_{AB}}=3\,524,68\,\text{m}\); \(ai_{A}=1,440\,\text{m}\), altura do instrumento em \(A\); altura do centro do refletor \((ap)\) no ponto \(B\) de \(2,510\,\text{m}\). Calcular a altitude do ponto \(A\). Considere o efeito de curvatura e o de refração terrestre.

Resp.: Altitude de \(A=172,911\,\text{m}\) .

---

5) A distância inclinada e o ângulo zenital foram medidos de \(X\) para \(Y\), sendo \(\mathrm{DI}=474,3\,\text{m}\) e \(z=93^{\circ}13'46''\), respectivamente. A altura do prisma e a altura do equipamento foi a mesma. Se a elevação de \(X\) foi de \(837,5\,\text{m}\) acima do Datum, qual a elevação de \(Y\)?

Resp.: Elevação de \(Y=810,781\,\text{m}\).

---

6) De um teodolito estacionado no ponto \(13\), de altitude \(492,7\,\text{m}\), foi visada a mira no ponto \(14\), realizando as seguintes medidas: \(z=92^{\circ}27'\); \(\textit{ri}=1,000\,\text{m}\); \(\textit{rm}=1,598\,\text{m}\); \(\textit{rs}=2,196\,\text{m}\); \(\textit{ai}=1,7\,\text{m}\). Pergunta-se:

• qual a \(DN\) entre os pontos 13 e 14?

• qual a altitude do ponto 14?

Resp.: \(\mathrm{DN}=5,006\,\text{m}\); altitude do ponto \(14\) é de \(487,694\,\text{m}\).

---

7) Em nivelamento taqueométrico do ponto \(X\) para \(Y\), foram realizadas as seguinte leituras: \(z=86^{\circ}10'\); \(\textit{ri}=1,700\,\text{m}\); \(\textit{rs}=2,300\,\text{m}\). Sabendo-se que a altura do instrumento foi igual a leitura do retículo médio. Pergunta-se qual a \(\mathrm{DN}\) entre os pontos \(X\) e \(Y\)?

Resp.: \(\mathrm{DN}=4,002\,\text{m}\)

---

8) Com o objetivo de determinar a altitude do ponto inacessível, \(P\), foram realizadas as seguintes medidas: comprimento de uma base \(AB\) de \(50\,\text{m}\); ângulos horizontais \(\widehat{PAB}\) \((\alpha=67^{\circ}37'49'')\) e \(\widehat{ABP}\) \((\beta=52^{\circ}25'38'')\), conforme Figura 92 (plano topográfico); \(\textit{ai}_{\textit{A}}=1,745\,\text{m}\); e ângulo zenital da luneta em \(A\) visando \(P\) de \(57^{\circ}27'31''\). Sabe-se que a altitude em \(A\) é de \(564,693\,\text{m}\). Pede-se:

• a \(\mathrm{DH}\) entre \(A\) e \(P\);

• a altitude de \(P\).

Figura 92 Ponto inacessível.

Resp.: \(\mathrm{DH}_{AP}=45,786\,\text{m}\); Altitude de \(P=595,654\) m.

---

9) Calcule a altitude ortométrica \((H)\) para uma estação em que a altitude geométrica \((h)\), cuja a medida com receptor GPS foi de \(59,1\,\text{m}\). Sabe-se que a ondulação geoidal \((N)\) para a estação é de \(-21,3\,\text{m}\).

Resp.: \(H=80,4\,\text{m}\).

---

10) Sobre uma referência de nivel (RN) do IBGE foi estacionado um receptor GNSS, utilizando como método de cálculo da posição, a diferença de fase. Foi obtida com este receptor a altitude de \(329,673\,\text{m}\) (geométrica). Consultando o site HgeoHNOR2020, foi verificado que a altitude ortométrica deste marco é de \(335,958\,\text{m}\). Qual é a ondulação geoidal deste ponto?

Resp.: \(N=-6,285\,\text{m}\).

---

11) Utilizando-se um receptor GNSS, configurado para trabalhar com o Datum SIRGAS2000, obteve-se os seguintes dados de um determinado ponto: coordenadas \(20,7615^{\circ}\) de Latitude Sul e \(41,5354^{\circ}\) de Longitude Oeste e, altitude geométrica de 272,13 m. Calcule a altitude em relação ao geóide (altitude ortométrica). Utilizar o programa HgeoHNOR2020.

Resp.: \(278,59\,\text{m}\) .

---

12) Em um perfil topográfico, a estaca \(5+14\,\text{m}\) tem \(\mathrm{cota}\) \(200,5\,\text{m}\) e a estaca \(10+2\,\text{m}\) tem cota \(204,7\,\text{m}\). O terreno entre essas estacas é aproximadamente plano. Com estas informações calcular:

1. a declividade \((\%)\) de um greide que passaria pelas referidas estacas, se na estaca \(5+14\,\text{m}\) fosse feito um aterro de \(1,7\,\text{m}\) de altura e um corte da mesma altura na estaca \(10+2\,\text{m}\);

2. a \(\mathrm{cota}\) do ponto de passagem e sua distância com relação à estaca \(5+14\,\text{m}\);

3. a \(\mathrm{cota}\) no terreno e no greide na estaca \(7\).

Resp.: \(d=0,91\%\); \(\mathrm{cota_{PP}}=202,6\,\text{m}\) e distância de PP à estaca \(5+14\,\text{m}\) é de \(44\,\text{m}\); \(\mathrm{cota_{greide[7]}}=202,436\,\text{m}\) e \(\mathrm{cota_{terreno[7]}}=201,741\,\text{m}\).

---

13) Foi realizado um nivelamento e um contra-nivelamento entre os pontos \(A\) e \(B\), obtendo-se a \(\mathrm{DN}\) de, respectivamente, \(3,837\,\text{m}\) e \(3,842\,\text{m}\). Sabendo-se que o trecho \(AB\) tem uma extensão de \(580\,\text{m}\). Pede-se:

1. o erro cometido no trecho;

2. considerando um levantamento da classe IIN da NBR13133, este levantamento está dentro do limite tolerado?

Resp.: a) \(\mathrm{erro=0,005\,m}\); b) está de acordo com a Norma.

---

14) Com os dados das cadernetas de nivelamento e contra-nivelamento (Tabelas abaixo), e sabendo-se que as estacas estão espaçadas de \(20\,\text{m}\), calcular:

1. o erro cometido no trecho;

2. considerando um levantamento da classe IIN da NBR13133, este levantamento está dentro do limite tolerado?

Table 17 Nivelamento.

Estaca	\(\mathrm{ré}\)	\(\mathrm{AI}\)	\(\mathrm{PI}\)	\(\mathrm{PM}\)	\(\mathrm{cota}\)
\(4\)	\(3,321\)				\(100,000\)
\(5\)			\(1,325\)
\(6\)			\(3,793\)
\(7\)	\(2,650\)			\(1,467\)
\(8\)			\(3,820\)
\(9\)				\(2,100\)

Table 18 Contra-nivelamento.

Estaca	\(\mathrm{ré}\)	\(\mathrm{AI}\)	\(\mathrm{PI}\)	\(\mathrm{PM}\)	\(\mathrm{cota}\)
\(9\)	\(1,200\)
\(8\)			\(2,923\)
\(7\)	\(0,621\)			\(1,756\)
\(6\)			\(2,947\)
\(5\)	\(0,710\)			\(0,479\)
\(4\)				\(2,706\)

Resp.: erro do nivelamento \(0,006\,\text{m}\); está de acordo com a Norma.

---

15) Com os dados de um NGC apresentados na caderneta de campo da Tabela abaixo, calcule:

1. a declividade, em %, de um plano inclinado que passa pelas estacas \(7+12\,\text{m}\) e \(12+5\,\text{m}\), considerando-se que o espaçamento entre as estacas é de \(20,0\,\text{m}\) ;

2. as \(\mathrm{CV}\) para todos as estacas;

3. em que estaca(s) se encontra(m) o(s) ponto(s) de passagem.

Table 19 Tabela de nivelamento.

Estaca	\(\mathrm{ré}\)	\(\mathrm{AI}\)	\(\mathrm{PI}\)	\(\mathrm{PM}\)	\(\mathrm{cota}\)	\(\mathrm{greide}\)	\(\mathrm{CV}\)
\(7+12\,\text{m}\)	\(1,316\)				\(200,0\)
\(8\)			\(2,725\)
\(9\)	\(2,321\)			\(0,214\)
\(10\)	\(0,340\)			\(2,500\)
\(11\)			\(1,470\)
\(12\)			\(3,218\)
\(12+5\,\text{m}\)				\(2,200\)

Resp.: a) \(d=-1,008\%\); b) \(\mathrm{CV}_{7+12{\rm \ m}}=0\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{8}=1,328\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{9}=-1,384\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{10}=-1,407\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{11}=-0,478\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{12}=1,068\,\text{m}\), \(\mathrm{CV}_{12+5\,{\rm m}}=0\,\text{m}\); c) \(\mathrm{PP_{1}}=8+9.795\,\text{m}\), \(\mathrm{PP_{2}}=11+6.183\,\text{m}\) .

Footnotes

[1]

Neste nivelamento: o nível é da classe 2, com precisão média, desvio-padrão \(\leq\pm10\text{ mm/km}\); as miras dobráveis, centimétricas e devidamente aferidas, providas de prumo esférico; pode ser realizado em circuito fechado NBR13133, páginas 6 e 17